4. 2005 pr2

Tenemos un tablero cuadrado y en cada casilla anotamos un número siguiendo estas instrucciones: el número que escribimos es el menor de los números que indican la fila y la columna de la casilla. La figura que tenéis a continuación te da un ejemplo en el caso de un tablero 3 × 3
A) Tenemos un tablero cuadrado de 5 x 5 (25 casillas). ¿Cuál será la suma de todos los números una vez hayamos rellenado todo el tablero con la condición que se ha indicado? Explica una manera de calcular la suma anterior, sin necesidad de sumar uno a uno todos los números.
B) Ahora tenemos un tablero de 10 x 10 (100 casillas). Si lo rellenamos siguiendo las instrucciones ya comentadas, ¿cuál será la suma de todos los números anotados? Explica cómo lo has calculado.
C) En el mismo tablero de 10 x 10 estudia cuál sería la suma si, en lugar de poner el menor de los números que indican la fila y la columna de la casilla, pusiésemos el mayor.



Solución: 
 Hay un modo muy bonito, pero lo veremos al final. El primer modo es 5+4x3+3x5+2x7+1x9= 5+12+15+14+9= 55

Otro modo. Si ponemos encima otra malla transparente donde los unos van en la última fila y columna, los doses en la penúltima fila y columna, y así, entonces en el caso 5x5 sumamos dos veces los números, y quedaría la malla 
 6 5 4 3 2
 5 6 5 4 3
 4 5 6 5 4
 3 4 5 6 5
 2 3 4 5 6
cuya suma es 2x1+3x2+4x3+5x4+6x5+5x4+4x3+3x2+2x1, y como luego hay que dividirlo entre dos, queda finalmente 2x1+3x2+4x3+5x4+(6x5)/2 = 2+6+12+20+15=55
El modo más bonito es: ponemos una malla 5x5 toda de unos, en el subcuadrado inferior derecho ponemos otra malla 4x4 toda de unos, en el subcuadrado inferior derecho ponemos otra malla 3x3 toda de unos, y así, la malla inicial es la suma de los cuadrados de los 5 primeros números naturales, o sea, 55
b) 10+9x3+8x5+7x7+6x9+5x11+4x13+3x15+2x17+1x19= o bien del otro modo quedaría 1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8+8x9+9x10+(10x11)/2 = 2+6+12+20+30+42+56+72+90+55= 385. 
Del modo bonito sería la suma de los cuadrados de los 10 primeros naturales.
c)  En el tablero 3x3 quedaría la malla 
 1 2 3
 2 2 3
 3 3 3      hacemos igual, si ponemos otra malla transparente pero donde los treses estén en primera columna y fila, donde los doses estén en segunda columna y fila, y donde el 1 esté abajo a la derecha, entonces quedaría la malla
 4 5 6
 5 4 5 
 6 5 4   y quedaría la suma 1x6+2x5+(3x4)/2, en el caso 10x10 quedaría la suma (11x10)/2+12x9+13x8+14x7+15x6+16x5+17x4+18x3+19x2+20x1= 55+108+104+98+90+80+68+54+38+20= o del primer modo quedaría 10x19+9x17+8x15+7x13+6x11+5x9+4x7+3x5+2x3+1x1= 190+153+120+91+66+45+28+15+6+1= 715
Del modo bonito , para el caso 5x5, sería una malla 5x5 toda de cincos, a esa le quitamos el subcuadrado 4x4 superior izquierdo de unos, luego el 3x3 de unos, y así, sería 5^3 - (1^2+2^2+3^2+4^2) y análogo para el caso 10x 10, sería 10^3-(suma cuadrados 9 primeros naturales)